\documentclass[10pt,a4paper]{article}
%%% taille 10 points et format de papier A4
%%% classe article

%%% Codage en unicode
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 

\usepackage{multicol}%%%         écriture en multicolonnes
\usepackage[normalem]{ulem}%%%   pour texte barré \sout{}
\usepackage[french]{babel}%%%    écriture en français
\DecimalMathComma%%%             évite l'espace après la virgule en mode math
\usepackage{multido}%%%          pour faire des boucles
\usepackage{pst-all,pst-eucl}%%% PsTricks et Euclide
\usepackage{graphicx}%%%         pour graphiques et couleurs	
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}%%% outils AMS
\usepackage{mathrsfs}%%%         police script \mathscr{}
\usepackage{tabularx}%%%         tableaux
\usepackage{fancybox}%%%         divers boîtes
\usepackage{lscape}%%%           mode paysage
\usepackage[np]{numprint}%%%     pour formater les nombres de plus de 3 chiffres
\usepackage{colortbl}%%%         pour griser des cases dans un tableau
\usepackage{makeidx}%%%          pour créer un index
\makeindex%%%                    indispensable après l'appel du package makeidx
\usepackage{lettrine}%%%         pour créer des lettrines
\usepackage{eurosym}%%%          sigle euro

\usepackage{vmargin}%%%          réglage des marges
\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\setlength{\parindent}{0pt}%%% règle l'indentation en début de paragraphe 

%%%  Commandes perso FH

%%% Pour intégrale, somme et produit, etc.
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%%% raccourci pour \displaystyle

%%% ensembles de nombres
%%% On réservera le style "double barre" à l'écriture au tableau
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\K}{\textbf{K}}

%%% différents repères
\newcommand{\Oij}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})}
\newcommand{\rep}{(O,I,J)}
\newcommand{\Ouv}{(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})}
\newcommand{\Oijk}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k})}

%%%  Courbe représentative
\newcommand{\Cr}[1]{\mathscr{C}_{#1}}

%%% crochets gauche et droit
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}

%%% crochet d'entiers
\newcommand{\cde}{\texttt{[}\!\!\texttt{[}}
\newcommand{\cge}{\texttt{]}\!\!\texttt{]}}

%%% inférieur ou égal, supérieur ou égal
\newcommand{\pg}{\geqslant}
\newcommand{\pp}{\leqslant}

\usepackage{fancyhdr}%%%       En-têtes et pieds de pages
\pagestyle{fancy}
\renewcommand\headrulewidth{1pt}%%% filet haut de page
\renewcommand\footrulewidth{0pt}%%% filet bas de page
\renewcommand{\headwidth}{\textwidth}
%%% head pour haut de page
%%% L C et R pour Left Center et Right
\fancyhead[L]{\url{http://latexetmath.canalblog.com}}
\fancyhead[R]{\today} %%% \today = date du jour
\fancyhead[C]{}
%%% foot pour pied de page
\fancyfoot[C]{\begin{small}-- \thepage\  --\end{small}}  
\fancyfoot[R]{}%%%     {\jobname}%%% nom du fichier tex
\fancyfoot[L]{\href{mailto:francois.hache@free.fr}{FH}}

%%% Pour les énumérations
%%% premier niveau 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%%% deuxième niveau
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%%% troisième niveau
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
%%% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
%%% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf

\newenvironment{changemargin}[2]
{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\setlength{\listparindent}{\parindent}%
\setlength{\itemindent}{\parindent}%
\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
%%%% pour changer les marges gauche et droite sur un paragraphe
%%%% \begin{changemargin}{marge gauche}{marge droite}
%%%% ...
%%%% \end{changemargin}

\usepackage[ps2pdf]{hyperref}%%% pour les références

%%% paramètres des pdf
\hypersetup{
pdfauthor = {F. Hache},
pdftitle = {},
pdfstartview = FitH,
pdfcreator = {LaTeX vers PDF}
allbordercolors = white,
colorlinks=true,
linkcolor=red,
urlcolor=red,
unicode=true}

%%% Autres commandes qui doivent être définies après hyperref
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\renewcommand{\v}[1]{\overrightarrow{#1}}%%% vecteur

%%% définitions de nouvelles couleurs
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\newrgbcolor{vb}{0 0.545 0}

\begin{document}

\part*{\centering Point fixe}
 
\bigskip

Ceux qui ont fait quelques mathématiques savent ce qu'est le \og point fixe\fg. 

On est dans le domaine de l'analyse numérique et il s'agit de créer une suite convergente pour résoudre une équation dont on ne sait pas exprimer la solution. 

Dans le secondaire, le théorème a été très à la mode il y a quelques années et il a disparu des programmes il y a longtemps déjà.

On trouve encore, dans des études de suite à partir de fonction, des représentations graphiques basées sur la courbe représentant la fonction et utilisant la droite d'équation $y=x$.

Un des packages chargé par \verb!\usepackage{pst-all}! contient une instruction qui trace directement ce que l'on veut:

\hfill\verb!\psFixPoint[...]{...}{...}{...}!\hfill{}

\smallskip

Entre crochets on mettra les options, puis on entrera entre accolades les trois paramètres obligatoires:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item l'abscisse du point de départ c'est-à-dire le premier terme de la suite;

\item l'expression de la fonction;

\item le nombre d'itérations que l'on veut.

\end{list} 

\bigskip

Prenons un exemple.

Soit $f$ la fonction définie sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ par $f(x) = \ln \left ( 1+\dfrac{1}{x}\right )$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
u_0 & 1,5\\
u_n & f(u_n) \text{ pour tout entier naturel } n
\end{array}
\right.$

\bigskip

Et voilà ce que donne le tracé:

\begin{center}
 
\psset{unit=4cm,arrowsize=2pt 3}
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{2.5}
\def\ymin{-0.5} \def\ymax{2} 
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

%%% grille 1cm x 1cm
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,0)(-2,-2)(10,8)

%%% axes
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

%%% vecteurs unitaires
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,l]

%%% origine
\uput[dl](0,0){O}

%%% définition de la fonction
\def\f{1 x div 1 add ln}

%%% tracé de la représentation graphique de la fonction
\psplot[plotpoints=2000]{0.01}{\xmax}{\f}

%%%% nom de la courbe
\uput[10](0.25,1.6){$\mathscr{C}$}

%%% droite d'équation y = x
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=rb!80]{0}{\xmax}{x}
\uput[d]{45}(1.75,1.75){\rb $y=x$}

%%% \pstfixpoint[options]{abscisse début}{fonction}{nb itérations}
\psFixpoint[linecolor=blue,linestyle=dashed]{1.5}{\f}{7}

\end{pspicture*} 
\end{center}	


\end{document}